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Introduction

Abstract

En
A characterization of v-irreducible elements and of strongly v-irriducible elements of a distributive lattice $(L,≤)$ was given by D.Drake and W.J.Thorn in (1).Among other things in (1)it was proven that an element $c ∈ L$ is v-irreducible if one can identify $(L,≤)$, by means of a lattice isomorphism f, with a sublattice $(L',≤)$ of the power set $P(X)$ of a suitable set X, in such a way that $f(c)$ is the closure in $L'$ of an element $x ∈ X (i.e. F(c))$ is the minimum element in $L'$,with respect to the set inclusion, including x). As is well-known an element of a distributive lattice is v-irreducible iff it is v-prime.This property is exploited is an essential manner in (1).Now then in our paper we took this property as a starting point for a characterization cf v-prime and of strongly v-prime elements of any partially ordered set (in particular of any lattice).Here,on the analogy of some characterization of v-prime elements and of strongly v-prime elements of a lattice, an element c of a partially ordered set(shortly "poset" $S,≤$) is said v-prime if the subset $Dc={S ∈ S : c ≤ s}$ is v-directed, i.e. $Dc = 0$ or for every $x1, x2 ∈ Dc$ (for every(Error rendering LaTeX formula))there exists $t ∈ Dc$ such that $x1 ≤ t (xi ≤ t$ for every $i = 1, ..., n$); moreover c is said strongly v-prime if $Dc = 0$ or $Dc$ has maxium element.Then we prove than an element $c ∈ S$ is v-prime in $(S, ≤)$ if we can identify $S, ≤$ by means of an order isomorphism f,with a set (but not necessarily a lattice) of sets of the type of (1) in such a way that $f(c)$ is the closure in $(f(s),≤)$ of a element of $Uf(s)$;moreover we prove that c is strongly v-prime in $(S,≤)$ if for all function f of the above type the set $f(c)$ is the closure in $(f(s),≤)$ of an element of $Uf(s)$.
It
D.Drake e W.J.Thorn hanno in (1)una caratterizzazione degli elementi v-irriducibili e degli elementi fortemente v-irriducubili di un reticolo distributivo $(L,≤)$.tra l'altro in (1)è stato provato che un elemento $c ∈ L$ è irriducibile se e solo se si può identificare $(L,≤)$,tramite un isomorfismo reticolare f,con un sottoreticolo $(L',≤)$ del reticolo delle parti $P(X)$ di un opportuno insieme X in tal modo che $f(c)$ è la chiusura di $L'$ di un certo elemento $x ∈ X$ (cioè $f(c)$ è il più piccolo elemento di $L'$,rispetto all'inclusione insiemistica, cui appartiene x).Come è ben noto un elemento di un reticolo distributivo è v-irriducibile se e solo se esso è v-primo.Questa propietà è usata in maniera essenziale in (1).In questo lavoro noi prendiamo lo spunto da questa propietà per dare una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un qualsiasi insieme parzialmente ordinato(in particolare di qualsiasi reticolo $(S,≤)$). Precisiamo che quì, in analogia con una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un reticolo,un elemto c di un insieme parzialmente ordinato ($(S,≤)$ è detto v-primo se il sottoinsieme $Dc={s ∈ S : c ≤ s}$ è v-diretto, cioè $Dc = 0$ oppure per ogni $x1, x2 ∈ Dc$ per ogni(Error rendering LaTeX formula))esiste $t ∈ Dc$ tale che $x1 ≤ t$ e $x2 ≤ t$ ($xi ≤ t$ per ogni $i = 1, ..., n$);inoltre c è detto fortemente v-primo se $Dc = 0$ oppure $Dc$ è dotato di massimo.Allora noi proviamo che un elemento $c ∈ S$ è v-primo in $(S, ≤)$ se e solo se possiamo identificare $(S, ≤)$, tramite un isomorfismo f rispetto all'ordinamento, con un insieme di insiemi(non necessariamente un reticolo di insiemi) del tipo (1) in modo tale che $f(c)$ è la chiusura in ($(f(S), ≤)$ di un elemento di $Uf(s)$);inoltre proviamo che c è fortemente v-primo in $(S, ≤)$ se e solo se per ogni isomorfismo f del tipo su menzionato l'insieme $f(c)$ è la chiusura in $(f(S), ≤)$ di un punto di $Uf(s)$.

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