Introduction


Abstract


En
A characterization of v-irreducible elements and of strongly v-irriducible elements of a distributive lattice (L,≤) was given by D.Drake and W.J.Thorn in (1).Among other things in (1)it was proven that an element c ∈ L is v-irreducible if one can identify (L,≤), by means of a lattice isomorphism f, with a sublattice (L',≤) of the power set P(X) of a suitable set X, in such a way that f(c) is the closure in L' of an element x ∈ X (i.e. F(c)) is the minimum element in L',with respect to the set inclusion, including x). As is well-known an element of a distributive lattice is v-irreducible iff it is v-prime.This property is exploited is an essential manner in (1).Now then in our paper we took this property as a starting point for a characterization cf v-prime and of strongly v-prime elements of any partially ordered set (in particular of any lattice).Here,on the analogy of some characterization of v-prime elements and of strongly v-prime elements of a lattice, an element c of a partially ordered set(shortly "poset" S,≤) is said v-prime if the subset D<sub>c</sub>={S ∈ S : c ≤ s} is v-directed, i.e. D<sub>c</sub> = 0 or for every x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ D<sub>c</sub> (for every(Error rendering LaTeX formula))there exists t ∈ D<sub>c</sub> such that x<sub>1</sub> ≤ t (x<sub>i</sub> ≤ t for every i = 1, ..., n); moreover c is said strongly v-prime if D<sub>c</sub> = 0 or D<sub>c</sub> has maxium element.Then we prove than an element c ∈ S is v-prime in (S, ≤) if we can identify S, ≤ by means of an order isomorphism f,with a set (but not necessarily a lattice) of sets of the type of (1) in such a way that f(c) is the closure in (f(s),≤) of a element of Uf(s);moreover we prove that c is strongly v-prime in (S,≤) if for all function f of the above type the set f(c) is the closure in (f(s),≤) of an element of Uf(s).
It
D.Drake e W.J.Thorn hanno in (1)una caratterizzazione degli elementi v-irriducibili e degli elementi fortemente v-irriducubili di un reticolo distributivo (L,≤).tra l'altro in (1)è stato provato che un elemento c ∈ L è irriducibile se e solo se si può identificare (L,≤),tramite un isomorfismo reticolare f,con un sottoreticolo (L',≤) del reticolo delle parti P(X) di un opportuno insieme X in tal modo che f(c) è la chiusura di L' di un certo elemento x ∈ X (cioè f(c) è il più piccolo elemento di L',rispetto all'inclusione insiemistica, cui appartiene x).Come è ben noto un elemento di un reticolo distributivo è v-irriducibile se e solo se esso è v-primo.Questa propietà è usata in maniera essenziale in (1).In questo lavoro noi prendiamo lo spunto da questa propietà per dare una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un qualsiasi insieme parzialmente ordinato(in particolare di qualsiasi reticolo (S,≤)). Precisiamo che quì, in analogia con una caratterizzazione degli elementi v-primi e degli elementi fortemente v-primi di un reticolo,un elemto c di un insieme parzialmente ordinato ((S,≤) è detto v-primo se il sottoinsieme D<sub>c</sub>={s ∈ S : c ≤ s} è v-diretto, cioè D<sub>c</sub> = 0 oppure per ogni x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ D<sub>c</sub> per ogni(Error rendering LaTeX formula))esiste t ∈ D<sub>c</sub> tale che x<sub>1</sub> ≤ t e x<sub>2</sub> ≤ t (x<sub>i</sub> ≤ t per ogni i = 1, ..., n);inoltre c è detto fortemente v-primo se D<sub>c</sub> = 0 oppure D<sub>c</sub> è dotato di massimo.Allora noi proviamo che un elemento c ∈ S è v-primo in (S, ≤) se e solo se possiamo identificare (S, ≤), tramite un isomorfismo f rispetto all'ordinamento, con un insieme di insiemi(non necessariamente un reticolo di insiemi) del tipo (1) in modo tale che f(c) è la chiusura in ((f(S), ≤) di un elemento di Uf(s));inoltre proviamo che c è fortemente v-primo in (S, ≤) se e solo se per ogni isomorfismo f del tipo su menzionato l'insieme f(c) è la chiusura in (f(S), ≤) di un punto di Uf(s).

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